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title: Ejercicios PAES Matemáticas M2
description: Accede a ejercicios de la PAES Matemáticas M2 y sigue preparándote para obtener un buen puntaje
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# [Ejercicios PAES Matemáticas M2](https://blog.unitips.cl/ejercicios-paes-matematicas-m2)

 Escrito por [Unitips](https://blog.unitips.cl/author/unitips) | May 8, 2023 2:28:25 AM

## 10 ejercicios resueltos de la PAES de Matemáticas M2

Si estás preparándote para la PAES de Matemáticas M2, es importante que practiques constantemente con ejercicios y problemas similares a los que se presentarán en la prueba real. Por esta razón, el material que publica el DEMRE, como las pruebas oficiales del año anterior o los ensayos matemáticos, son herramientas valiosas para tu preparación.

## Ejercicios para preparar la PAES M2 de Matemática

A diferencia de la **prueba obligatoria M1**, que es requisito para todas las carreras, la [PAES de Matemática M2](https://blog.unitips.cl/paes-competencia-matematica-m2) está destinada solo a carreras **orientadas a las ingenierías o a las ciencias exactas**, de modo que no todos los aspirantes tienen que darla.

Debido a eso, esta prueba tiene un **mayor nivel de dificultad**, ya que no se enfoca en habilidades básicas, sino en **conocimientos específicos de resolución** de problemas. Asegúrate de conocer bien las [diferencias de las PAES M1 y M2](https://blog.unitips.cl/competencia-matematica-1-2) antes de ponerte a estudiar.

Antes de revisar los siguientes **ejercicios resueltos de la PAES M2**, te recomendamos **realizar un ensayo matemático** para conocer cómo te iría en esta prueba. En el siguiente enlace encontrarás un **ensayo en línea completamente gratuito**: simplemente regístrate y selecciona la pestaña de "Ensayos".

<https://bit.ly/3y3yMjM>

## 10 ejercicios reales de la PAES de Matemática M2

A continuación, te presentamos los primeros **10 problemas de la PAES oficial de Matemáticas M2** del proceso 2023, resueltos y con una explicación para que puedas **comprenderlos con mayor facilidad**. Si deseas que sigamos **resolviendo más ejercicios**, contáctanos a través del Instagram [@unitipscl](https://www.instagram.com/unitipscl/).

Sin embargo, es importante destacar que estos **ejercicios de la PAES M2** no serán suficientes para alcanzar un **buen puntaje ponderado**. Por esta razón, es necesario buscar más recursos de estudio en el [preuniversitario en línea Unitips](https://unitips.cl/registro), donde encontrarás **lecciones animadas, miniquizzes y ensayos** para prepararte para tu prueba. **Accede a la versión gratuita** en el siguiente enlace.

<https://bit.ly/3lnLLFf>

**Pregunta 1.** Considera que la suma de los primeros N números enteros positivos corresponde a:

$$\\frac{N(N+1)}{2}$$

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$$\\frac{1+2+3+...+98+99}{1+2+3+...+49+50}$$

1. 66/17
2. 99/25
3. 50∙51∙99∙100/4
4. 49∙50∙98∙99/4

**Respuesta:** Utiliza la expresión dada para la sumatoria. N es 50 en el denominador y 99 en el numerador:

$$\\frac{1+2+3+\\ldots+98+99}{1+2+3+\\ldots+49+50}=\\frac{\\frac{99\\left(99+1\\right)}{2}}{\\frac{50\\left(50+1\\right)}{2}}$$

Es necesario **simplificar la expresión**. Para ello, empieza por el 2 que divide al numerador y denominador, también **suma las cantidades** dentro de los paréntesis:

$$\\frac{99(100)}{50(51)}$$

Realiza el producto y, después, **elimina un 0** arriba y abajo:

$$\\frac{9900}{2550}=\\frac{990}{255}$$

Es necesario simp**lificar a su mínima expresió**n a la fracción, una manera fácil es factorizar ambos números para después **eliminar los factores coincidentes** en el numerador y denominador:

$$\\frac{990}{255}=\\frac{5\\times3\\times6\\times11}{5\\times3\\times17}$$

Podemos concluir que:

$$\\frac{1+2+3+...+98+99}{1+2+3+...+49+50}=\\frac{66}{17}$$

De modo que la respuesta correcta es el **inciso A**.

**Pregunta 2.** Si al producto entre 3 y -3 se le resta el producto entre 5 y -5, ¿qué número se obtiene?

1. -34
2. -16
3. 16
4. 70

**Respuesta**: La operatoria que se debe desarrollar es:

$$\\left\[\\left(3\\right)\\left(-3\\right)\\right\]-\[\\left(5\\right)\\left(-5\\right)\]$$

La **multiplicación se realiza primero** y después la resta, recuerda las leyes de los signos:

$$\\left(-9\\right)-\\left(-25\\right)=-9+25=16$$

**La respuesta es C**.

**Pregunta 3.** Considera tres números enteros negativos y consecutivos p, q y r, tal que su suma es -6 y p < q < r.

¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera para los números p√2, q√8 y r√18?

1. p√2 < q√8 < r√18
2. q√8 < p√2 = r√18
3. r√18 < q√8 < p√2
4. p√2 = r√18 < q√8

**Respuesta**: Los únicos números que cumplen la condición de ser enteros negativos y consecutivos cuya suma es -6 son: -3, -2 y -1. Al ser p el menor de los tres:

p=-3

q=-2

r=-1

Ahora factoriza a los números dentro de las raíces para poder expresarlas como raíces múltiplos de √2:

$$\\sqrt8=\\sqrt{4\\times2}=\\sqrt4\\times\\sqrt2=2\\sqrt2$$

$$\\sqrt{18}=\\sqrt{9\\times2}=\\sqrt9\\times\\sqrt2=3\\sqrt2$$

Sabiendo los **valores de p, q y r**, los sustituiremos para la comparación:

$$ p\\sqrt2=-3\\sqrt2$$

$$ q\\sqrt8=\\left(-2\\right)\\times2\\sqrt2=-4\\sqrt2$$

$$ r\\sqrt{18}=\\left(-1\\right)\\times3\\sqrt2=-3\\sqrt2$$

Podemos concluir:

$$ q\\sqrt8<p\\sqrt2=r\\sqrt{18}$$

**La respuesta es B.**

**Pregunta 4**. La intensidad con que se percibe cierto sonido emitido desde una fuente, depende de la distancia a la que se encuentra el receptor, según la siguiente fórmula:

$$ I=\\frac{100}{d^2}$$

Tal que *I* es la **intensidad del sonido**, medida en decibelios y *d* es la distancia del receptor a la fuente, medida en metros.

Si un receptor duplica su distancia a la fuente, ¿cómo varía la intensidad del sonido que percibe?

1. Pasa a ser un cuarto de la intensidad original.
2. Pasa a ser un medio de la intensidad original.
3. Pasa a ser cuatro veces la intensidad original.
4. Pasa a ser veinticinco veces la intensidad original.

**Respuesta**: Utilicemos un **ejemplo concreto** para facilitar el problema. Supongamos que la **distancia al inicio es 1 m**, si la duplicamos, será 2 m

Inicio:

$$ I=\\frac{100}{\\left(1\\right)^2}=100$$

Al duplicar la distancia:

$$ I=\\frac{100}{p^m}$$

B.

$$p^\\frac{m}{2}+p^\\frac{m}{2}$$

C.

$$\\frac{p^{2m+1}}{p^{m+1}}$$

D.

$$p^2\\bullet p^\\frac{m}{2}$$

**Respuesta**: Aplicamos las **leyes de los exponentes** para simplificar a las expresiones anteriores.

$$\\frac{p^{m^2}}{p^m}=p^{m^2-m}$$

$$p^\\frac{m}{2}+p^\\frac{m}{2}=2p^\\frac{m}{2}$$

$$\\frac{p^{2m+1}}{p^{m+1}}=p^{2m+1-\\left(m+1\\right)}=p^m$$

$$p^2\\bulletp^\\frac{m}{2}=p^{2+\\frac{m}{2}}=p^\\frac{4+m}{2}$$

**La respuesta es C**.

**Pregunta 8**. ¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión?

$$\\sqrt3\\bullet\\sqrt\[3\]{3}\\bullet\\sqrt\[5\]{3}$$

A.

$$\\sqrt\[10\]{3} $$

B.

$$\\sqrt\[10\]{3^3} $$

C.

$$\\sqrt\[30\]{3} $$

D.

$$3\\bullet\\sqrt\[30\]{3} $$

**Resultados**: Para facilitar la simplificación de producto de potencias, escribamos a las raíces en su forma exponencial:

$$(\\sqrt\[n\]{a^m}=a^\\frac{m}{n}):$$

$$\\sqrt\[3\]{3}=3^\\frac{1}{2}\\bigm$$

$$\\sqrt\[3\]{3}=3^\\frac{1}{3}$$

$$\\sqrt\[5\]{3}=3^\\frac{1}{5}$$

La expresión puede ser reescrita:

$$\\sqrt3\\bullet\\sqrt\[3\]{3}\\bullet\\sqrt\[5\]{3}=3^\\frac{1}{2}\\bullet3^\\frac{1}{3}\\bullet3^\\frac{1}{5}$$

El **producto de potencias** con la misma base equivale a una potencia con la misma base cuyo exponente es la **suma de los exponentes** que se multiplican:

$$3^\\frac{1}{2}\\bullet3^\\frac{1}{3}\\bullet3^\\frac{1}{5}=3^{\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\frac{1}{5}}$$

El exponente del resultado es la suma de las fracciones:

$$\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}+\\frac{1}{5}=\\frac{15+10+6}{30}=\\frac{31}{30}=1+\\frac{1}{30}$$

La potencia final simplificada y en su forma de radical:

$$3^{1+\\frac{1}{30}}=3^1\\bullet3^\\frac{1}{30}=3\\bullet\\sqrt\[30\]{3}$$

**La respuesta es D.**

**Pregunta 9**. Considera los números reales a, b y c.

¿Con cuál de las siguientes igualdades se puede deducir que la expresión √2a + √8b + √50c representa siempre a un número racional?

a + 2b + 5c = 2

a + b + c = √60

a + 2b + 5c = √2

a + b + c = √2 + √8 + √50

**Respuesta**: Simplificaremos a las raíces para que todas estén en **términos de√2**:

$$\\sqrt8=\\sqrt{4\\bullet2}=\\sqrt4\\bullet\\sqrt2=2\\sqrt2$$

$$\\sqrt{50}=\\sqrt{25\\bullet2}=\\sqrt{25}\\bullet\\sqrt2=5\\sqrt2$$

La expresión original queda:

$$ a\\sqrt2+2b\\sqrt2+5c\\sqrt2$$

Utilizamos el **factor común √2** para factorizar:

$$\\left(a+2b+5c\\right)\\sqrt2$$

La **raíz cuadrada de 2** se vuelve el número racional 2 si la multiplicamos por sí misma:

$$\\sqrt2\\bullet\\sqrt2=2$$

Para aprovechar esta propiedad (a+2b+5c) debe ser igual a √2

**La respuesta es C**.

**Pregunta 10**. Considera prismas de base cuadrada. En la siguiente tabla se presentan las medidas de las artistas basales y los volúmenes de unos prismas, con igual altura.

| Arista de la cara basal (en cm) | Volumen del prisma (en cm3) |
| --- | --- |
| 4 | 80 |
| 8 | 320 |

Si uno de estos prismas tiene un volumen de V cm3 y la arista de la cara basal es z cm, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

1. El cociente z2: V es igual a 5 cm.
2. La medida de la arista z puede expresarse como √V/5.
3. El valor de (logz V – logz 5) es igual a 2.
4. log3 V = z, cuando la medida z de la arista coincida con la altura.

**Respuesta**: Calculemos la medida de la altura de los prismas anteriores.

$$ V=z^2\\bulleth $$

$$ h=\\frac{V}{z^2}=\\frac{80}{4^2}=\\frac{320}{8^2}=5$$

El cociente z2: V es:

$$\\frac{z^2}{V}=\\frac{4^2}{80}=\\frac{8^2}{320}=\\frac{1}{5}$$

La primera opción es incorrecta. Por otra parte, **al despejar z**, podemos conocer la altura:

$$ V=z^2\\bulleth $$

$$ z=\\sqrt{\\frac{V}{h}}=\\sqrt{\\frac{V}{5}}$$

De modo que segunda opción, no es correcta. Ahora, si h=z el volumen es:

$$ V=z^2\\bulleth=z^2\\bulletz=z^3$$

Si aplicamos **logaritmo base 3** y la propiedad de los logaritmos de las potencias:

$$\\log\_3{V=\\log\_3{z^3}}$$

$$\\log\_3{V={3\\log}\_3{z}}$$

La opción 4 no es verdadera.

**Apliquemos logaritmo base z** y simplifiquemos con las propiedades de los logaritmos de un cociente:

$$z^2=\\frac{V}{5}$$

$$\\log\_z{z^2}=\\log\_z{\\left(\\frac{V}{5}\\right)}$$

$$2=\\log\_zV-log\_z5$$

Esta opción es correcta, **la respuesta es C**.

La **prueba de Matemáticas M2** puede ser atemorizante, pues tendrás que practicar constantemente para **mejorar en los temas de matemáticas**, no sólo aquí, sino en la **PAES obligatoria de Matemáticas**. Revisa [consejos para dar las PAES de matemáticas](https://blog.unitips.cl/consejos-paes-matematica) y aumenta tu confianza en estas asignaturas.

## ¿Dónde encontrar más preguntas de la PAES de Matemáticas?

Los **ejercicios de Matemáticas** que forman parte de la **PAES M2** son una de las partes más complejas de las pruebas durante el **proceso de admisión a la universidad**, no solo por la cantidad de preguntas, sino también por su dificultad. Es fundamental que estudies y practiques para **mejorar tus habilidades y conocimientos**.

Además, es importante que **consideres el resto de las secciones** que conforman tu evaluación. Asegúrate de **contar con el material adecuado** que te ayude a abarcar todos los temas de manera **dinámica y enfocada**.

En el siguiente enlace encontrarás acceso a la versión gratuita del **preuniversitario en línea Unitips**. Gracias a la metodología *bite-sized learning*, podrás estudiar todos los temas de tu examen a través de **clases animadas y breves**, enfocadas en lo que realmente te preguntarán. Regístrate y **recibe tres clases gratis**:

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