10 ejercicios resueltos de la PAES de Matemáticas M2
Si estás preparándote para la PAES de Matemáticas M2, es importante que practiques constantemente con ejercicios y problemas similares a los que se presentarán en la prueba real. Por esta razón, el material que publica el DEMRE, como las pruebas oficiales del año anterior o los ensayos matemáticos, son herramientas valiosas para tu preparación.
Ejercicios para preparar la PAES M2 de Matemática
A diferencia de la prueba obligatoria M1, que es requisito para todas las carreras, la PAES de Matemática M2 está destinada solo a carreras orientadas a las ingenierías o a las ciencias exactas, de modo que no todos los aspirantes tienen que darla.
Debido a eso, esta prueba tiene un mayor nivel de dificultad, ya que no se enfoca en habilidades básicas, sino en conocimientos específicos de resolución de problemas. Asegúrate de conocer bien las diferencias de las PAES M1 y M2 antes de ponerte a estudiar.
Antes de revisar los siguientes ejercicios resueltos de la PAES M2, te recomendamos realizar un ensayo matemático para conocer cómo te iría en esta prueba. En el siguiente enlace encontrarás un ensayo en línea completamente gratuito: simplemente regístrate y selecciona la pestaña de "Ensayos".
10 ejercicios reales de la PAES de Matemática M2
A continuación, te presentamos los primeros 10 problemas de la PAES oficial de Matemáticas M2 del proceso 2023, resueltos y con una explicación para que puedas comprenderlos con mayor facilidad. Si deseas que sigamos resolviendo más ejercicios, contáctanos a través del Instagram @unitipscl.
Sin embargo, es importante destacar que estos ejercicios de la PAES M2 no serán suficientes para alcanzar un buen puntaje ponderado. Por esta razón, es necesario buscar más recursos de estudio en el preuniversitario en línea Unitips, donde encontrarás lecciones animadas, miniquizzes y ensayos para prepararte para tu prueba. Accede a la versión gratuita en el siguiente enlace.
Pregunta 1. Considera que la suma de los primeros N números enteros positivos corresponde a:
$$\frac{N(N+1)}{2}$$
¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?
$$\frac{1+2+3+...+98+99}{1+2+3+...+49+50}$$
- 66/17
- 99/25
- 50∙51∙99∙100/4
- 49∙50∙98∙99/4
Respuesta: Utiliza la expresión dada para la sumatoria. N es 50 en el denominador y 99 en el numerador:
$$\frac{1+2+3+\ldots+98+99}{1+2+3+\ldots+49+50}=\frac{\frac{99\left(99+1\right)}{2}}{\frac{50\left(50+1\right)}{2}}$$
Es necesario simplificar la expresión. Para ello, empieza por el 2 que divide al numerador y denominador, también suma las cantidades dentro de los paréntesis:
$$\frac{99(100)}{50(51)}$$
Realiza el producto y, después, elimina un 0 arriba y abajo:
$$\frac{9900}{2550}=\frac{990}{255}$$
Es necesario simplificar a su mínima expresión a la fracción, una manera fácil es factorizar ambos números para después eliminar los factores coincidentes en el numerador y denominador:
$$\frac{990}{255}=\frac{5\times3\times6\times11}{5\times3\times17}$$
Podemos concluir que:
$$\frac{1+2+3+...+98+99}{1+2+3+...+49+50}=\frac{66}{17}$$
De modo que la respuesta correcta es el inciso A.
Pregunta 2. Si al producto entre 3 y -3 se le resta el producto entre 5 y -5, ¿qué número se obtiene?
- -34
- -16
- 16
- 70
Respuesta: La operatoria que se debe desarrollar es:
$$\left[\left(3\right)\left(-3\right)\right]-[\left(5\right)\left(-5\right)]$$
La multiplicación se realiza primero y después la resta, recuerda las leyes de los signos:
$$\left(-9\right)-\left(-25\right)=-9+25=16$$
La respuesta es C.
Pregunta 3. Considera tres números enteros negativos y consecutivos p, q y r, tal que su suma es -6 y p < q < r.
¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera para los números p√2, q√8 y r√18?
- p√2 < q√8 < r√18
- q√8 < p√2 = r√18
- r√18 < q√8 < p√2
- p√2 = r√18 < q√8
Respuesta: Los únicos números que cumplen la condición de ser enteros negativos y consecutivos cuya suma es -6 son: -3, -2 y -1. Al ser p el menor de los tres:
p=-3
q=-2
r=-1
Ahora factoriza a los números dentro de las raíces para poder expresarlas como raíces múltiplos de √2:
$$\sqrt8=\sqrt{4\times2}=\sqrt4\times\sqrt2=2\sqrt2$$
$$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt9\times\sqrt2=3\sqrt2$$
Sabiendo los valores de p, q y r, los sustituiremos para la comparación:
$$ p\sqrt2=-3\sqrt2$$
$$ q\sqrt8=\left(-2\right)\times2\sqrt2=-4\sqrt2$$
$$ r\sqrt{18}=\left(-1\right)\times3\sqrt2=-3\sqrt2$$
Podemos concluir:
$$ q\sqrt8<p\sqrt2=r\sqrt{18}$$
La respuesta es B.
Pregunta 4. La intensidad con que se percibe cierto sonido emitido desde una fuente, depende de la distancia a la que se encuentra el receptor, según la siguiente fórmula:
$$ I=\frac{100}{d^2}$$
Tal que I es la intensidad del sonido, medida en decibelios y d es la distancia del receptor a la fuente, medida en metros.
Si un receptor duplica su distancia a la fuente, ¿cómo varía la intensidad del sonido que percibe?
- Pasa a ser un cuarto de la intensidad original.
- Pasa a ser un medio de la intensidad original.
- Pasa a ser cuatro veces la intensidad original.
- Pasa a ser veinticinco veces la intensidad original.
Respuesta: Utilicemos un ejemplo concreto para facilitar el problema. Supongamos que la distancia al inicio es 1 m, si la duplicamos, será 2 m
Inicio:
$$ I=\frac{100}{\left(1\right)^2}=100$$
Al duplicar la distancia:
$$ I=\frac{100}{p^m}$$
B.
$$p^\frac{m}{2}+p^\frac{m}{2}$$
C.
$$\frac{p^{2m+1}}{p^{m+1}}$$
D.
$$p^2\bullet p^\frac{m}{2}$$
Respuesta: Aplicamos las leyes de los exponentes para simplificar a las expresiones anteriores.
$$\frac{p^{m^2}}{p^m}=p^{m^2-m}$$
$$p^\frac{m}{2}+p^\frac{m}{2}=2p^\frac{m}{2}$$
$$\frac{p^{2m+1}}{p^{m+1}}=p^{2m+1-\left(m+1\right)}=p^m$$
$$p^2\bulletp^\frac{m}{2}=p^{2+\frac{m}{2}}=p^\frac{4+m}{2}$$
La respuesta es C.
Pregunta 8. ¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión?
$$\sqrt3\bullet\sqrt[3]{3}\bullet\sqrt[5]{3}$$
A.
$$\sqrt[10]{3} $$
B.
$$\sqrt[10]{3^3} $$
C.
$$\sqrt[30]{3} $$
D.
$$3\bullet\sqrt[30]{3} $$
Resultados: Para facilitar la simplificación de producto de potencias, escribamos a las raíces en su forma exponencial:
$$(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}):$$
$$\sqrt[3]{3}=3^\frac{1}{2}\bigm$$
$$\sqrt[3]{3}=3^\frac{1}{3}$$
$$\sqrt[5]{3}=3^\frac{1}{5}$$
La expresión puede ser reescrita:
$$\sqrt3\bullet\sqrt[3]{3}\bullet\sqrt[5]{3}=3^\frac{1}{2}\bullet3^\frac{1}{3}\bullet3^\frac{1}{5}$$
El producto de potencias con la misma base equivale a una potencia con la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes que se multiplican:
$$3^\frac{1}{2}\bullet3^\frac{1}{3}\bullet3^\frac{1}{5}=3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}$$
El exponente del resultado es la suma de las fracciones:
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{15+10+6}{30}=\frac{31}{30}=1+\frac{1}{30}$$
La potencia final simplificada y en su forma de radical:
$$3^{1+\frac{1}{30}}=3^1\bullet3^\frac{1}{30}=3\bullet\sqrt[30]{3}$$
La respuesta es D.
Pregunta 9. Considera los números reales a, b y c.
¿Con cuál de las siguientes igualdades se puede deducir que la expresión √2a + √8b + √50c representa siempre a un número racional?
a + 2b + 5c = 2
a + b + c = √60
a + 2b + 5c = √2
a + b + c = √2 + √8 + √50
Respuesta: Simplificaremos a las raíces para que todas estén en términos de √2:
$$\sqrt8=\sqrt{4\bullet2}=\sqrt4\bullet\sqrt2=2\sqrt2$$
$$\sqrt{50}=\sqrt{25\bullet2}=\sqrt{25}\bullet\sqrt2=5\sqrt2$$
La expresión original queda:
$$ a\sqrt2+2b\sqrt2+5c\sqrt2$$
Utilizamos el factor común √2 para factorizar:
$$\left(a+2b+5c\right)\sqrt2$$
La raíz cuadrada de 2 se vuelve el número racional 2 si la multiplicamos por sí misma:
$$\sqrt2\bullet\sqrt2=2$$
Para aprovechar esta propiedad (a+2b+5c) debe ser igual a √2
La respuesta es C.
Pregunta 10. Considera prismas de base cuadrada. En la siguiente tabla se presentan las medidas de las artistas basales y los volúmenes de unos prismas, con igual altura.
|
Arista de la cara basal (en cm) |
Volumen del prisma (en cm3) |
|
4 |
80 |
|
8 |
320 |
Si uno de estos prismas tiene un volumen de V cm3 y la arista de la cara basal es z cm, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- El cociente z2: V es igual a 5 cm.
- La medida de la arista z puede expresarse como √V/5.
- El valor de (logz V – logz 5) es igual a 2.
- log3 V = z, cuando la medida z de la arista coincida con la altura.
Respuesta: Calculemos la medida de la altura de los prismas anteriores.
$$ V=z^2\bulleth $$
$$ h=\frac{V}{z^2}=\frac{80}{4^2}=\frac{320}{8^2}=5$$
El cociente z2: V es:
$$\frac{z^2}{V}=\frac{4^2}{80}=\frac{8^2}{320}=\frac{1}{5}$$
La primera opción es incorrecta. Por otra parte, al despejar z, podemos conocer la altura:
$$ V=z^2\bulleth $$
$$ z=\sqrt{\frac{V}{h}}=\sqrt{\frac{V}{5}}$$
De modo que segunda opción, no es correcta. Ahora, si h=z el volumen es:
$$ V=z^2\bulleth=z^2\bulletz=z^3$$
Si aplicamos logaritmo base 3 y la propiedad de los logaritmos de las potencias:
$$\log_3{V=\log_3{z^3}}$$
$$\log_3{V={3\log}_3{z}}$$
La opción 4 no es verdadera.
Apliquemos logaritmo base z y simplifiquemos con las propiedades de los logaritmos de un cociente:
$$z^2=\frac{V}{5}$$
$$\log_z{z^2}=\log_z{\left(\frac{V}{5}\right)}$$
$$2=\log_zV-log_z5$$
Esta opción es correcta, la respuesta es C.
La prueba de Matemáticas M2 puede ser atemorizante, pues tendrás que practicar constantemente para mejorar en los temas de matemáticas, no sólo aquí, sino en la PAES obligatoria de Matemáticas. Revisa consejos para dar las PAES de matemáticas y aumenta tu confianza en estas asignaturas.
¿Dónde encontrar más preguntas de la PAES de Matemáticas?
Los ejercicios de Matemáticas que forman parte de la PAES M2 son una de las partes más complejas de las pruebas durante el proceso de admisión a la universidad, no solo por la cantidad de preguntas, sino también por su dificultad. Es fundamental que estudies y practiques para mejorar tus habilidades y conocimientos.
Además, es importante que consideres el resto de las secciones que conforman tu evaluación. Asegúrate de contar con el material adecuado que te ayude a abarcar todos los temas de manera dinámica y enfocada.
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