Tema de estudio PAES M1: transformaciones isométricas
Entender el tema de transformaciones isométricas es necesario no sólo para que des la PAES, sino también para que puedas avanzar en conceptos más avanzados de la materia de Geometría. Por eso, en este blog te lo explicamos paso a paso, además de ejemplos y ejercicios que te ayudarán a comprenderlo mejor.
No te olvides seguir revisando los demás temas de la prueba obligatoria de Matemática 1 y así puedas estudiar con tiempo cada uno de ellos. Esto te ayudará a tener mejores resultados y postular con el mejor puntaje posible.
¿Qué son las transformaciones isométricas?
Las transformaciones isométricas son transformaciones que pueden tener los cuerpos geométricos dentro de un plano. Este conocimiento sirve para copiar, invertir, reflejar, aumentar o disminuir de tamaño figuras para diseñar logotipos, modelos arquitectónicos o la creación artística en general debido a que dan una sensación de armonía estética.
A continuación, revisaremos las transformaciones isométricas que corresponden a aquellas en las que una figura puede cambiar sin que sus dimensiones se alteren. Estas corresponden a tres tipos: traslación, rotación y reflexión.
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Traslación isométrica
La traslación isométrica es la transformación más simple, debido a que la figura únicamente cambia de posición. El desplazamiento puede ser mostrado con un vector para poder indicar dirección, magnitud y sentido de la transformación. Todos los puntos que conforman a la figura se trasladan utilizando este vector.
Revisemos este ejemplo, donde el triángulo ΔABC se trasladará utilizando el siguiente vector:
$$v=(1,3)$$
Esto quiere decir que cada punto de la figura se desplazará siguiendo un vector con componentes en "x" e "y" (1 y 3, respectivamente).
Para realizar la traslación isométrica, se debe ubicar primero las coordenadas de los vértices de la figura original:
A (2,1)
B (3,3)
C (4,2)
Ahora, se necesita trasladar cada uno de los puntos utilizando el vector de traslación. Para esto, suma los componentes del vector a cada punto (cuidando los signos) para obtener las coordenadas de los vértices de la figura trasladada.
El vector de traslación tiene componentes 1 en “x” y 3 en “y”. A cada uno de los puntos le sumaremos 1 a la parte de “x” y 3 a “y”.
A (2,1)
$$ A\prime(2+1,1+3)=A\prime(3,4)$$
B (3,3)
$$ B\prime(3+1,3+3)=B\prime(4,6)$$
C (4,2)
$$ C\prime(4+1,2+3)=C\prime(5,5)$$
Ahora que has ubicado los puntos, sólo necesitas unirlos para obtener la figura trasladada.
Rotación isométrica
En la rotación isométrica, la figura se mueve con un ángulo de giro respecto a un punto llamado centro de rotación. Para realizarla, se necesitan un ángulo y un punto de referencia. Revisemos un ejemplo rotando el siguiente ángulo ΔDEF 30° respecto al punto O.
Para lograr esto, será necesario rotar uno a uno los vértices de la figura original. Te explicamos a continuación el procedimiento.
Empecemos con el punto “D”. Traza una recta desde este punto hasta el centro de rotación “O”.
Ahora, traza una línea que parta del punto “O” y que tenga el ángulo de giro adecuado (en este caso 30°).
Mide la distancia que hay entre los puntos “D” y “O”. Utiliza esta medida en la recta que rotaste para ubicar al punto que corresponde a la figura rotada.
Repite lo anterior para el resto de los puntos y traza la figura rotada. Observa que la distancia entre los puntos de la figura original y el centro de rotación “O” se mantiene con los puntos que forman a la figura rotada, por lo que ΔDEF tiene las mismas dimensiones que ΔD’E’F’.
Reflexión de una figura o simetría axial
La simetría axial es un tipo de reflexión isométrica donde la figura se invierte (o refleja) respecto a una recta llamada eje de simetría. Para realizarla, se debe trazar rectas perpendiculares (que forman ángulos de 90°) con el eje de simetría. Pongamos un ejemplo con la siguiente figura respecto al eje “L”.
Primero, traza rectas perpendiculares entre los vértices y el eje de simetría. Enseguida, mide las distancias entre cada vértice y el eje de simetría, utiliza esta medida para trazar los puntos del lado reflejado.
Finalmente, sólo necesitas unir los puntos para formar la figura reflejada.
A pesar de que el tema de transformaciones isométricas puede resultar sencillo, es necesario que revises a conciencia todos los conceptos y te asegures de haberlo entendido. Es normal que muchos estudiantes tengan problemas con las matemáticas, pero existen estrategias que puedes poner en práctica para mejorar.
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Ejercicios de transformaciones isométricas
Seguro has escuchado que la práctica hace al maestro y, en caso de las matemáticas, aún más. Por eso, acá te dejamos algunas preguntas de transformaciones isométricas que te ayudarán a comprobar si esta información fue de ayuda o necesitas más herramientas de estudio.
Ejercicio 1. ¿Cuáles son los componentes del vector de traslación que transforma a la figura A en A’?
- v=(1,5)
- v=(-5,-6)
- v=(-4,-4)
- v=(5,3)
Ejercicio 2. Observa la siguiente imagen, creada por el artista M. C. Escher (1898 – 1972) e identifica qué tipo de transformaciones isométricas se presentan.
- Traslación
- Rotación
- Reflexión
- Todas las anteriores
Ejercicio 3. Si se aplica la transformación isométrica de reflexión a la siguiente figura, ¿qué coordenada le corresponderá al punto B’?
- (-4,-2)
- (5,2)
- (6,2)
- No se puede reflejar
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Respuestas:
- b)
- d)
- c)
