--- title: "Teorema de Tales: tema de estudio PAES M1" description: Conoce los principios y fundamentos del teorema de Thales que te ayudarán a presentar la PAES obligatoria de matemáticas M1. image: https://blog.unitips.cl/hubfs/Blog/Acad%C3%A9mico/10.22_Teorema%20de%20Thales/Teorema-de-Thales-1440x480.png --- ![Loading...](https://blog.unitips.cl/hubfs/loader.gif) [![Logotipo de Unitips](https://blog.unitips.cl/hubfs/unitips-logotipo-1.svg "Logotipo de Unitips")](https://unitips.cl/) - [Inicio](https://unitips.cl/) - [Planes](https://unitips.cl/planes-y-precios) - [Blog](https://blog.unitips.cl/) - [Contacto](https://unitips.cl/#contacto) - [Iniciar Sesión](https://unitips.cl/inicio-sesion) - [Regístrate](https://unitips.cl/registro) ![Icono menu](https://blog.unitips.cl/hubfs/ico-menu-dashboard.svg) - [Inicio](https://unitips.cl/) - [Planes](https://unitips.cl/planes-y-precios) - [Blog](https://blog.unitips.cl/) - [Contacto](https://unitips.cl/#contacto) - [Iniciar Sesión](https://unitips.cl/inicio-sesion) - [Regístrate](https://unitips.cl/registro) ![](https://blog.unitips.cl/hubfs/Blog/assets/sticky-cta/close.png) Regístrate GRATIS y aumenta tu puntaje en la PAES [Pruébalo AHORA](https://unitips.cl/registro/?utm_campaign=tofu_visita_unitipscl&utm_source=blog_unitips&utm_medium=cta_blog&utm_content=flotante) ![](https://blog.unitips.cl/hubfs/Blog/assets/sticky-cta/cta_flotante_mobile_tachita.png) Aumenta tu puntaje en la PAES [Pruébalo AHORA](https://unitips.cl/registro/?utm_campaign=tofu_visita_unitipscl&utm_source=blog_unitips&utm_medium=cta_blog&utm_content=flotante) ![](https://blog.unitips.cl/hubfs/Blog/assets/sticky-cta/cta_flotante_mobile_celular.png) # Teorema de Tales: tema de estudio PAES M1 - 31 octubre 2022 ## Definición y ejercicios del Teorema de Tales Si te estás preparando para **presentar la Prueba de Acceso a la Educación Superior**, conocer a fondo todos los temas, especialmente los de las **pruebas obligatorias**, será una de las herramientas que te ayudarán a **alcanzar el mejor puntaje**. Por eso, en este blog te explicamos paso por paso el **teorema de Thales**, concepto fundamental para la [prueba de matemática M1](https://blog.unitips.cl/paes-competencia-matematica-m1). Además, te dejamos algunos **ejemplos y ejercicios** que tiene una estructura y dificultad semejante a las de tu examen. ## ¿Qué es el teorema de Tales? **Tales de Mileto** fue un filósofo de la antigua Grecia que se enfocó en **estudiar la naturaleza y la geometría**. Entre sus principales aportaciones está el **teorema de Thales** el cual es muy útil para encontrar la medida de los lados entre **triángulos semejantes**. Los **triángulos semejantes son aquellos** **cuyos ángulos internos tienen la misma medida**. Por ejemplo, los siguientes triángulos tienen lados con medidas y disposiciones diferentes, pero con **ángulos idénticos**, por lo que son considerados semejantes. ![Imagen-interna-01-teorema-de-thales](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/Acad%C3%A9mico/10.22_Teorema%20de%20Thales/Imagen-interna-01-teorema-de-thales.png?width=400&height=431&name=Imagen-interna-01-teorema-de-thales.png)También observó que, si se **traza una línea paralela dentro de un triángulo** a cualquiera de sus lados, **se forman dos triángulos semejantes**, por lo que Tales encontró que el cociente que se obtiene al **relacionar los lados del triángulo original** con los lados del triángulo nuevo es el mismo. ![Imagenes-internas-02-teorema-de-thales](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/Acad%C3%A9mico/10.22_Teorema%20de%20Thales/Imagenes-internas-02-teorema-de-thales.png?width=400&height=364&name=Imagenes-internas-02-teorema-de-thales.png) En palabras simplificadas, el **teorema de Thales** explica que, al trazar una **línea paralela** al lado de un triángulo, el **triángulo obtenido será semejante al original**. Esto se expresa con la siguiente fórmula: $${BC/DC=AC/EC=AB/DE}$$ Además, esto quiere decir que, si **elegimos un lado del triángulo original** y lo dividimos en el correspondiente del triángulo semejante, **obtendremos el mismo valor** que si elegimos otro de los lados y **se divide en su equivalente**. ![Imagenes-internas-03-teorema-de-thales](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/Acad%C3%A9mico/10.22_Teorema%20de%20Thales/Imagenes-internas-03-teorema-de-thales.png?width=400&height=353&name=Imagenes-internas-03-teorema-de-thales.png) Si sientes que necesitas apoyo extra para estudiar este y otros temas de la **prueba obligatoria de Matemáticas M1**, entonces te sugerimos que des clic en el siguiente enlace y accedas a la [versión gratuita del preuniversitario Unitips](https://unitips.cl/), donde a partir de **clases animadas, miniquizzes y ensayos en línea**, podrás prepararte para el ingreso a la universidad. [![banner-paes](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/CTA_01.22/banner-paes.png?width=500&height=369&name=banner-paes.png)](https://bit.ly/3lnLLFf) ### ¿Para qué sirve el teorema de Thales? Con el **teorema de Thales** estableceremos una ecuación con el **cociente de los lados cuyas medidas conocemos** y lo igualaremos con el cociente de los lados en donde aparezca el lado que queremos conocer. Revisemos este ejemplo de acuerdo con los **datos del ejemplo anterior**: ![Imagenes-internas-03-teorema-de-thales](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/Acad%C3%A9mico/10.22_Teorema%20de%20Thales/Imagenes-internas-03-teorema-de-thales.png?width=400&height=353&name=Imagenes-internas-03-teorema-de-thales.png) Conocemos la medida del lado CA **correspondiente al triángulo exterior**, el cual relacionaremos con el que le **corresponde del triángulo interior** que también conocemos, es decir CE. Esta expresión **se iguala con el lado desconocido** AB, dividido en el lado conocido DE. Se expresa de la siguiente forma: $$\\frac{CA}{CE}=\\frac{AB}{DE}$$ Ahora sustituiremos las **incógnitas con los valores** que sí conocemos: $$\\frac{5,8\\ cm}{4,1\\ cm}=\\frac{x}{4,7\\ cm}$$ Esta ecuación se resuelve fácilmente **despejando a la “x” multiplicando** por 4,7 cm: $$ x=\\frac{5,8}{4,1}\\times4,7=6,7$$ Por lo tanto, el lado AB mide 6,7 cm. ## Ejemplos resueltos del teorema de Tales Una aplicación importante de este teorema es **calcular medidas de segmentos** que se forman entre dos rectas cualquiera **cortadas por rectas paralelas**. Revisemos el siguiente ejemplo: ![Imagenes-internas-04-teorema-de-thales](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/Acad%C3%A9mico/10.22_Teorema%20de%20Thales/Imagenes-internas-04-teorema-de-thales.png?width=400&height=374&name=Imagenes-internas-04-teorema-de-thales.png) Debido a que se cumple la proporcionalidad entre los segmentos, el **teorema de Thales** indica que **podemos relacionar a los cocientes** de la siguiente manera: $$\\frac{\\bar{AC}}{\\bar{DF}}=\\frac{\\bar{AB}}{\\bar{DE}}=\\frac{\\bar{BC}}{\\bar{EF}}$$ Ahora, veamos el siguiente: las **líneas mostradas en color negro** son paralelas entre sí, pero ¿cuál es la medida del segmento “x”? ![Imagenes-internas-05-teorema-de-thales](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/Acad%C3%A9mico/10.22_Teorema%20de%20Thales/Imagenes-internas-05-teorema-de-thales.png?width=400&height=355&name=Imagenes-internas-05-teorema-de-thales.png) El segmento “x”, junto con “y”, son **partes del segmento que mide 6,3 km**. El teorema de Thales nos permite relacionar los **cocientes de los lados opuestos** de la siguiente manera: $$\\frac{x}{2,5\\ km}=\\frac{y}{3,6\\ km}$$ Para poder resolver la ecuación anterior, escribiremos a “y” en términos de “x”, sabiendo que: $$ x+y=6,3\\ km$$ $$ y=6,3\\ km\\ -x$$ Al sustituir la **expresión anterior en la relación original**, podemos obtener una ecuación en términos de “x”: $$\\frac{x}{2,5\\ km}=\\frac{6,3\\ km\\ -x}{3,6\\ km}$$ El proceso de solución sería el siguiente: $$(3,6)(x)=(2,5)(6,3-x)$$ $$13,6x=15,75-2,5x$$ $$13,6x+2,5x=15,75$$ $$16,1x=15,75$$ $$\\frac{15,75}{6,1}=2,6\\ km$$ El segmento “x” mide 2,6 km, lo cual nos permite conocer también la medida del segmento “y” porque es la diferencia de 6,3 km y 2,6 km, es decir: $$ y=6,3-2,6=3,7\\ km$$ Una de las aplicaciones más utilizadas del **teorema de Tales** es la medición indirecta de **alturas de estructuras de gran tamaño**. Por ejemplo, para conocer la altura de la gran pirámide de Guiza en Egipto, es posible utilizar al largo de la **sombra proyectada por la pirámide** a cierta hora por la tarde y compararla con el largo de la sombra que cualquier objeto con altura conocida proyecte. En este caso **utilizaremos una palmera de 4 metros** de alto. Si el largo de la sombra proyectada por la **pirámide es de 300 metros** y el de la palmera es de **8,6 metros**, ¿cuál es la altura de la pirámide? ![Imagenes-internas-06-teorema-de-thales](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/Acad%C3%A9mico/10.22_Teorema%20de%20Thales/Imagenes-internas-06-teorema-de-thales.png?width=400&height=543&name=Imagenes-internas-06-teorema-de-thales.png) Para solucionar este problema, es necesario que **observes los dos triángulos** que forman la pirámide y la palmera con sus **respectivas sombras a la misma hora del día**. Se trata de triángulos semejantes, por lo que podemos establecer que: $$\\frac{altura\\ de\\ la\\ piramide}{altura\\ de\\ la\\ palmera}=\\frac{sombra\\ de\\ la\\ piramide}{sombra\\ de\\ la\\ palmera}$$ $$\\frac{h}{4\\ m}=\\frac{300\\ m}{8,6\\ m}$$ Al multiplicar por 4 al resultado de dividir 300 en 8,6 encontramos la altura de la pirámide: $$h=\\frac{300\\ m}{8,6\\ m}\\times4$$ $$h=139,5\\ m$$ Esperamos que estos ejemplos te hayan ayudado a repasar el **tema del teorema de Tales** y ahora te sientas con más seguridad para [dar la PAES](https://blog.unitips.cl/tips-para-dar-una-buena-paes). Continúa preparándote con recursos en línea y mide tu nivel académico con un **ensayo en línea**, sólo necesitas registrarte en el siguiente enlace para acceder a uno. [![cta-ensayo-diagnostivo-v2](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/CTA_01.22/cta-ensayo-diagnostivo-v2.png?width=450&height=298&name=cta-ensayo-diagnostivo-v2.png)](https://bit.ly/3y3yMjM) ## Ejercicios de teorema de Tales Ahora que tienes esta información, repasar con **ejercicios extra te ayudará** a mejorar tu desempeño en matemáticas. Aquí te dejamos **tres modelos de preguntas** para la PAES obligatoria M1. Copia las preguntas en una hoja e **intenta resolverlas por tu cuenta**. Al final de este blog, encontrarás las respuestas correctas. **Ejercicio 1.** ¿Cuál es la medida del segmento “y”? ![Imagenes-internas-07-teorema-de-thales](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/Acad%C3%A9mico/10.22_Teorema%20de%20Thales/Imagenes-internas-07-teorema-de-thales.png?width=400&height=251&name=Imagenes-internas-07-teorema-de-thales.png) 1. 5 cm 2. 2,5 cm 3. 4 cm 4. 3 cm **Ejercicio 2.** Halla el valor de “x”. ![Imagenes-internas-08-teorema-de-thales](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/Acad%C3%A9mico/10.22_Teorema%20de%20Thales/Imagenes-internas-08-teorema-de-thales.png?width=400&height=307&name=Imagenes-internas-08-teorema-de-thales.png) 1. 3,0 2. 3,5 3. 3,2 4. 3,8 **Ejercicio 3.** ¿Cuál es la altura de una pared que proyecta una sombra de 15 metros de largo si al mismo tiempo un bastón de 30 cm clavado de forma perpendicular en el suelo proyecta una sombra de 20 cm? 1. 200 m 2. 25,5 m 3. 22,5 m 4. 20 m Recuerda que, para lograr obtener un [puntaje en tus PAES](https://blog.unitips.cl/puntaje-ptu) que te permita acceder a las universidades que quieres, necesitas prepararte adecuadamente y **utilizar con recursos útiles y efectivos**. Comienza a armar tu [calendario de estudio](https://blog.unitips.cl/calendario-estudio-paes) y haz una planeación que se pueda **ajustar a tus necesidades y tiempos**. En el preUnitips encontrarás **clases animadas, miniquizzes, tutorías y ensayos** ilimitados para preparar **todas tus PAES desde una sola plataforma**. Además, todos los recursos se encuentran **disponibles 24/7**, por lo que podrás adaptarte a tus intereses y estudios. Regístrate en el siguiente enlace y recibe una **versión gratuita** de tres lecciones. [«En Unitips puedes estudiar en línea desde cualquier computadora o smartphone con conexión a internet. Regístrate aquí y conócelo sin costo.»](https://bit.ly/3IiPizd) **Fuentes de consulta:** - Baldor, A. (2019). *Geometría*. Patria. - Wheater, Carolyne C. (2019). *Geometry Review and Workbook*. McGraw Hill. Respuestas: 1. 3 cm 2. 3,5 cm 3. 22,5 m [#Estudio](https://blog.unitips.cl/tag/estudio) - - - - - [mailto:info@example.com?&subject=&cc=&bcc=&body=https://blog.unitips.cl/teorema-de-tales](mailto:info@example.com?&subject=&cc=&bcc=&body=https://blog.unitips.cl/teorema-de-tales) #### Entradas Populares [![ejercicios-paes-matematicas-m1](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/E-PAES-10.png?width=100&height=100&name=E-PAES-10.png)](https://blog.unitips.cl/ejercicios-paes-matematicas-m1) ###### [Ejercicios PAES Matemáticas M1](https://blog.unitips.cl/ejercicios-paes-matematicas-m1) - 1 mayo 2023 [![mejores-universidades-arquitectura-chile](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/universidades-arquitectura.png?width=100&height=100&name=universidades-arquitectura.png)](https://blog.unitips.cl/mejores-universidades-arquitectura-chile) ###### [Ranking de las 10 mejores universidades de Arquitectura en Chile](https://blog.unitips.cl/mejores-universidades-arquitectura-chile) - 12 mayo 2023 [![carreras-obsoletas-en-el-futuro](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/carreras-obsoletas.png?width=100&height=100&name=carreras-obsoletas.png)](https://blog.unitips.cl/carreras-obsoletas-en-el-futuro) ###### [5 carreras que quedarán obsoletas en el futuro](https://blog.unitips.cl/carreras-obsoletas-en-el-futuro) - 26 mayo 2023 [![mejores-universidades-psicologia-chile](https://blog.unitips.cl/hs-fs/hubfs/Blog/Oferta%20acad%C3%A9mica/Universidades%20de%20Chile/10.22_Mejores%20universidades%20de%20Psicolog%C3%ADa/CL-Psicologia-H.png?width=100&height=100&name=CL-Psicologia-H.png)](https://blog.unitips.cl/mejores-universidades-psicologia-chile) ###### [10 mejores universidades para estudiar Psicología en Chile](https://blog.unitips.cl/mejores-universidades-psicologia-chile) - 19 octubre 2022 #### Explora por categoría - [OFERTA ACADEMICA](https://blog.unitips.cl/tag/oferta-academica) **(93)** - [PROCESO](https://blog.unitips.cl/tag/proceso) **(35)** - [Estudio](https://blog.unitips.cl/tag/estudio) **(25)** - [PREUNIVERSITARIO](https://blog.unitips.cl/tag/preuniversitario) **(17)** - [EVALUACION](https://blog.unitips.cl/tag/evaluacion) **(16)** #### Boletín informativo Únete a más de 10,000 estudiantes Al enviar, aceptas nuestro aviso de privacidad Grandes razones Para estudiar en Unitips ![Teléfono movil mostrando la pantalla de clases animadas](https://blog.unitips.cl/hubfs/Blog/assets/footer-slider/clasesanimadas.png) Clases Animadas Videos animados y dinámicos con la información que necesitas para estar preparado ![Teléfono movil mostrando la pantalla de clases trivias](https://blog.unitips.cl/hubfs/Blog/assets/footer-slider/quizzes.png) Quizzes Prueba tus conocimientos de forma dinámica al final de cada clase animada y asegura tu aprendizaje. ![Teléfono movil mostrando la pantalla de ensayos](https://blog.unitips.cl/hubfs/Blog/assets/footer-slider/ensayos.png) Ensayos Replica las condiciones de la prueba real, mide tu puntaje cuando quieras para conocer tu avance ![Teléfono haciendo una video llamada](https://blog.unitips.cl/hubfs/Blog/assets/footer-slider/tutoria.png) Tutoría Online Conéctate y resuelve tus dudas con un profesor solo para ti ![Teléfono movil mostrando el promedio de las pruebas](https://blog.unitips.cl/hubfs/Blog/assets/footer-slider/puntaje.png) Mide tu puntaje Ponte a prueba día a día intentando superar tu puntaje Unitips [Pruébalo **Gratis**](https://unitips.cl/registro/?utm_campaign=tofu_visita_unitipscl&utm_source=blog_unitips&utm_medium=cta_blog&utm_content=slider) [![logo-unitips-blanco-2](https://blog.unitips.cl/hubfs/logo-unitips-blanco-2.svg "logo-unitips-blanco-2")](https://blog.unitips.cl/) **EMPRESA** - [Blog](https://blog.unitips.cl/) - [Términos y condiciones](https://unitips.cl/legal/terminos-y-condiciones) - [Aviso de privacidad](https://unitips.cl/legal/aviso-de-privacidad) **CONTÁCTANOS** [![](https://blog.unitips.cl/hubfs/ico-facebook.svg)](https://www.facebook.com/UnitipsCl) [![](https://blog.unitips.cl/hubfs/ico-instagram.svg)](https://instagram.com/unitipscl/) [![](https://blog.unitips.cl/hubfs/ico-tiktok.svg)](https://www.tiktok.com/@unitipscl) [![](https://blog.unitips.cl/hubfs/ico-youtube.svg)](https://www.youtube.com/channel/UCn5HXBbYxRCK44fVjJ_-uEQ) ![](https://blog.unitips.cl/hubfs/ico-email.svg) [contacto@unitips.cl](mailto:contacto@unitips.cl)